数々の天才が絶望した未解決問題が難解すぎた

チャプター

• 1:11 数学界の最高峰「ミレニアム懸賞問題」とは？

  このセクションでは、クレイ数学研究所が2000年に発表した、数学の各分野で特に重要かつ難しいとされるミレニアム懸賞問題について紹介します。7つの問題にはそれぞれ1億5000万円の懸賞金がかけられており、発表から25年経った現在でも、たった一つしか解決されていない現状が語られます。

• 2:21 唯一の解決者：グレゴリー・ペレルマンとポアンカレ予想

  唯一解決されたポアンカレ予想を証明したのは、ロシアの数学者グレゴリー・ペレルマン氏です。彼は幼少期から数学の英才教育を受け、2002年に約2年の歳月をかけてこの難問を解きました。その功績に対し、数学界のノーベル賞と称されるフィールズ賞やミレニアム賞の賞金100万ドルが贈られましたが、彼は全て辞退し、その天才的な行動が話題となりました。

• 3:54 P≠NP予想：現代社会を支える暗号技術の根幹

  ミレニアム懸賞問題の一つであるP≠NP予想は、コンピューターが「簡単に計算できる問題（多項式時間）」と「答えの検証は簡単だが、見つけるのが難しい問題（非決定性多項式時間）」が等しいかどうかを問うものです。特に、大きな数の素因数分解の困難さを利用した公開鍵暗号方式の安全性が、この予想の証明に深く関わっており、もしP=NPが証明されれば、現在の暗号技術の安全性が揺らぐ可能性が指摘されています。

• 6:09 流体の挙動を記述する「ナビエ–ストークス方程式」の謎

  ナビエ–ストークス方程式は、空気や水といった流体力学における流体の挙動を記述する変微分方程式です。天気予報などに応用される重要な方程式ですが、3次元空間での解の存在と滑らかさ、または解の崩壊が未だ証明されていません。その複雑な非線形構造が、厳密な解を求めることを困難にしています。

• 7:25 残されたミレニアム懸賞問題の概要

  このセクションでは、残るミレニアム懸賞問題であるヤン＝ミルズ方程式と質量ギャップ問題、リーマン予想、ホッジ予想、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想の概要が紹介されます。ホッジ予想は、代数幾何学における代数多様体の性質に関する問題です。特に、ポアンカレ予想の解説では、位相幾何学の概念を用いて、図形の「つながり方」に着目し、伸び縮みするゴムのように変形しても同じ形とみなす考え方が説明されます。

• 9:45 シンプルながらも奥深い未解決問題「コラッツ予想」

  ミレニアム懸賞問題ではないものの、日本の企業が懸賞金をかけているコラッツ予想が紹介されます。これは「任意の正の整数nに対し、nが偶数なら2で割り、奇数なら3倍して1を足す」という操作を繰り返すと、必ず1になるという予想です。一見単純なルールですが、現在のコンピューター技術をもってしても、全ての正の整数で成り立つか、または反証が存在するのかは未だ分かっていません。

• 11:14 歴史を動かした解決済みの難問たち

  数学史に名を刻んだ解決済みの難問として、フェルマーの最終定理とABC予想が紹介されます。17世紀にピエール・ド・フェルマーが提唱し、360年後にアンドリュー・ワイルズが証明したフェルマーの最終定理は、数学者の挑戦の象徴です。また、望月新一教授が宇宙際タイヒミュラー理論を用いて証明したと主張するABC予想は、その証明の妥当性を巡り、現在も数学界で議論が続いています。

• 14:42 偶然と情熱が難問を解く：異色の数学者たち

  数学の難問を解いた異色の人物たちが紹介されます。ジョージ・ダンツィーグは、大学院の講義で宿題と間違えて、当時未解決だった統計学の2つの問題を解いてしまいました。また、殺人罪で服役中のクリストファー・ヘイブンスは、獄中で独学で高等数学を習得し、古代の連分数に関する数論で新たな規則性を発見するという驚くべき功績を残しました。

• 17:42 主婦とアニメが数学界を動かす意外な物語

  数学素人の主婦マージョリ・ライスは、独学で平面充填可能な五角形の新たな4タイプを発見し、数学界に貢献しました。さらに、日本の人気アニメ涼宮ハルヒの憂鬱の視聴順序を巡る議論が、海外の掲示板で25年以上未解決だった最小超置換問題の解決に繋がるかもしれないと話題になりました。これらのエピソードは、専門家だけでなく、一般の人々も数学の発展に貢献しうる可能性を示しています。

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